Limite e continuidade

O objetivo deste capitulo é discutir a definição de limite de diferentes formas. lnicialmente apresenta-se a noção intuitiva usando exemplos de sucessões numéricas. Em seguida apresentamos tabelas e gráficos que auxiliam na visualização do limite da função. A definição formal é apresentada propiciando a demonstração de propriedades que serão usadas no cálculo de limites e, finalmente, é apresentado o conceito de continuidade das funções.

Noção Intuitiva Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que no conjunto dos númermos reais podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer regra preestabelecida. Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas.

(1) 1, 2, 3, 4, 5 ...

(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 ...

(3) 1, 0, -1, -2, -3 ...

(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7 ...

Na sucessão (1), os temos tomam-se cada vez maiores sem atingir um LIMITE. Dado um número real qualquer por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Denota -se:

x → ∞

Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada vez mais do valor 1 sem nunca atingirem esse valor. Diremos que:

x → 1

Demaneira análoga dizemos na sucessão (3)

x → -∞

Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite. Ampliarem os. agora, o conceito de LIMITE para os diversos caso de limite de uma função. Observemos as seguintes funções:

Exemplo 1:

Seja y=1-1/x (ver Figura 1 e Tabela 1)

Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basca observar as tabelas e o gráfico para constatar que:

y → 1 quando x → ∞

Denota-se :

Exemplo 2:

A função y=x²+3x-2 tende para +∞ quando x → ∞ ou x → -∞.

Denota-se

 

De fato, intuitivamente , basta analisar o gráfico (Figura 2) e as sucessões da Tabela 2.

 

Exemplo 3:

Na Figura 3 temos o gráfico da função y = x/2 + 3. De modo análogo aos exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3, podemos escrever que

Pode-se observar no Exemplo 3 que, à medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 4 ou (x→4), os valores de y tornam-se cada vez mais próximos de 5 ou (y→5), independentemente da sucessão de valores de x usados.

Esse mesmo exemplo pode ser analisado de outra forma, mais conveniente para a introdução da definição formal de Limite.

Pode-se observar que é possível tomar o valor de y tão próximo de 5 quanto desejamos, desde que tomemos x suficiente próximo de 4 (x→4).

A idéia "tomar o valor de y tão próximo de 5 quanto desejamos", é traduzida matematicamente pela desigualdade

sendo E um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa imaginar.

A idéia ''desde que tornemos x suficientemente próximo de 4 (x→4)" significa que deve existir um intervalo aber­to de raio

e centro a=4, tal que se x (x≠4) variar nesse intervalo

então deve valer  a desigualdade (1).

Na Figura 4 ilustramos essas idéias geometricamente.

Podemos agora formular a definição de limite. Intuitivamente, dizemos que uma função f (x) tem limite L quando x tende para a, se é possível tomar f( x ) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x, x≠a suficientemente próximos de a.

De uma maneira formal, temos:

Seja f( x ) definida num intervalo aberto L, contendo a, exceto, possivelmente , no próprio a. Dizemos que o Limite de f(x ) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos